Utveckling av färdigheter

Redan ett litet barn har förmåga att uppfatta och förstå skillnaden mellan antal. Barnet börjar ganska tidigt träna uppräknandet av talramsan och skapa sig en bild av tallinjen. När barnet växer och får nya erfarenheter utvecklas de matematiska färdigheterna. Barn i förskola och nybörjarundervisning har redan många olika matematiska färdigheter trots att den formella undervisningen bara har börjat. Dessa färdigheter kan grupperas i fyra helheter, som vi kallar centrala matematiska färdighetsområden. De mest kända färdigheterna är de som anknyter till räknandet av antal och senare addition och subtraktion (dvs. aritmetiska basfärdigheter). Utöver detta har barn i förskola och nybörjarundervisning färdigheter som hjälper dem att förstå matematiska relationer och att uppfatta antal utan att egentligen räkna antalet. Dessa fyra färdighetsområden presenteras noggrannare nedan.

Tabell 1. Fyra centrala färdighetsområden för barn i förskola och nybörjarundervisning

Räknefärdigheter

Räknefärdigheter innebär förmåga att räkna upp talraden och talföljder, att räkna antal (i räknandet drar man nytta av färdigheten att räkna upp talraden) samt att behärska talsymboler. Vanligtvis går barnets utveckling från uppräknandet av talraden till antalsräknandet och sedan vidare till addition och subtraktion. Denna utveckling påverkas betydligt av hur mycket barnet ges möjlighet att träna sina färdigheter.

Färdigheter i uppräkning av talraden

Med färdighet i att uppräkna talraden och talföljder avser man att man rabblar upp talramsan framåt (t.ex. "ett, två, tre, fyra") och bakåt (t.ex. "fem, fyra, tre, två, ett, noll").  Talraden kan man också rabbla upp genom att hoppa över vissa tal, t.ex. så att man säger högt bara vart annat eller vart femte tal, exempelvis "två, fyra, sex, åtta" eller "fem, tio, femton, tjugo". Att fortsätta uppräknandet av talraden från ett annat tal än talet ett är också en viktig färdighet, eftersom färdigheten gör räknandet snabbare. En sådan situation kan bli aktuell när två tärningar används i brädspel. Barnet kastar tärningarna och får talen 3 och 4. På den ena tärningen känner barnet igen ögontalet tre utan att räkna och fortsätter därifrån räknandet med ”fyra, fem, sex, sju”.

Med tanke på utvecklingen är det mycket viktigt att kunna rabbla upp talraden flytande, främst eftersom barnet behöver räkna upp talraden när barnet räknar hur många föremål det finns i en helhet. Att kunna räkna upp räkneord är också viktig vid addition och subtraktion, eftersom i början grundar sig lösningsstrategin på uppräknandet av talraden framåt och bakåt. Att räkna upp talraden genom att hoppa över vissa tal försnabbar antalsräknandet och lösning av grundläggande aritmetiska uppgifter, främst inom addition och subtraktion.

Färdigheter i att räkna antal

Antalsräknandet förutsätter att många olika delprocesser fungerar (t.ex. Butterworth, 2005; Gelman & Gallistel, 1978). För det första skall barnet kunna räkna upp talraden i rätt ordning. För det andra skall barnet klara av att skapa ett-till-ett-förhållandet mellan talnamnet och föremålet som räknas och som barnet pekar på. Barnet skall klara av att säga ett tal och peka på endast ett föremål. För det tredje måste barnet inse att det sista talet som uppräknas anger det totala antalet föremål. För det fjärde skall barnet veta att alla typer av föremål och saker som är sinsemellan olika kan räknas, och för det femte att föremålen kan räknas i vilken ordning som helst, bara varje föremål räknas endast en gång.

Tabell 2. Delprocesserna vid antalsräkning

Behärska siffersymboler

De första stegen i träning av skolmatematiken innebär för barnet att lära sig kombinera räkneordet (fyra) med motsvarande siffersymbol (4). Detta tränar man tillsammans med barnet genom att säga ett räkneord och barnet får till uppgift att skriva en motsvarande siffersymbol. Ett annat sätt att träna denna färdighet är att visa upp ett sifferkort och be barnet säga det tal som siffersymbolen motsvarar.

En annan viktig färdighet är att med siffersymboler kunna uttrycka antal. Denna färdighet tränar barnet när man ber det visa den siffersymbol som motsvarar det antal föremål som visats, eller när man visar barnet ett siffersymbol och barnet skall plocka fram lika många föremål.

samband mellan siffra, räkneord och antal

Bild 1: Sambandet mellan siffersymbol, räkneord och antal

Utvecklingen från att behärska talraden till räknefärdighet

I stora drag utvecklas färdigheterna i behärska talraden på ett sådant sätt att först används färdigheterna vid antalsräkning och därefter vid addition och subtraktion (Fuson, 1988; Van de Rijt, 1996). Vanligtvis utvecklar barnet före skolåldern färdigheterna i talföljder till en strategi som de använder vid antalsräkning. I denna utveckling kan man urskilja sex olika faser. De utgörs av en primär förståelse för antal, ramsräknande, asynkront räknande, räknande via ordnande, resultaträknande och förkortat räknande. Dessa faser beskrivs noggrannare i tabell 3.

Tabell 3. Hur barnets färdighet i talföljder utvecklas till räknefärdighet

Aritmetiska basfärdigheter

Med aritmetiska basfärdigheter avses addition och subtraktion, men även multiplikation och division. Redan i förskoleåldern börjar barnet addera och subtrahera. Dessa fördigheter utvecklas mycket i förskolan och nybörjarundervisningen. Barnet börjar öva med små tal och har föremål som stöd för minnet. Senare lyckas räknandet också med stora tal och utan minnesstöd. När färdigheterna utvecklas och erfarenheterna ökar behöver barnet inte längre räkna enkla och ofta återkommande kombinationer, utan kan plocka svaret direkt ur minnet (förmåga att komma ihåg aritmetiska kombinationer).

Allmän utveckling av aritmetiska färdigheter

Utvecklingen av aritmetiska färdigheter beskrivs ofta med hjälp av strategier. I utvecklingens första skede demonstrerar barnet addition och subtraktion endast med hjälp av föremål. Om barnet exempelvis ska räkna 3 + 1 lägger barnet till ett föremål i högen med tre föremål.

Det följande utvecklingsskedet är betydligt lättare att höra och se i barnets agerande. I detta skede använder barnen strategier som baserar sig på räknande. Till en början räknar barnen upp talraden och exempelvis flyttar eller rör vid konkreta föremål under additionens gång. Senare adderar och subtraherar barnet utan föremål, men stöder sig i början på uppräknande av talföljder när uppgifter ska lösas.

uppräknande av räkneord

Bild 2. Uppräknande av räkneord och behovet av stöd för minnet vid addition i olika utvecklingsfaser

När barnet får större erfarenhet av addition och subtraktion kan barnet återkalla svaret direkt ur minnet. Då talar vi ofta om att återkalla aritmetiska kombinationer eller fakta: ofta återkommande och enkla kombinationer lagras i långtidsminnet tack vare upprepning. Barnet behöver inte längre räkna hur mycket 1+1 är utan kan genast när uppgiften visas återkalla svaret 2. Strategierna börjar vara välutvecklade då barnet använder inlärda eller egna matematiska ekvationer. Det tyder på att barnet kan generalisera sin kunskap till nya kontext.

Memorering av aritmetiska fakta

När barnet vid addition och subtraktion använder räknestrategier på ett lyckat sätt, utvecklas mer minneskunskap om ofta återkommande räkneuppgifter. Svaren på räkneuppgifterna finns färdigt i barnets minne och barnet behöver inte längre räkna. Vanligen lär sig barnen att använda de fakta som finns i minnet som sin huvudsakliga problemlösningsstrategi innan nio års ålder.

Förståelse av matematiska samband

Utöver att barnet lär sig räkna antal och lösa additions- och subtraktionsuppgifter lär sig barnet också att förstå de olika sambanden som ingår i matematiska uppgifter och frågor. De centrala färdigheterna för barn i förskole- och nybörjarundervisningsåldern inom detta område är förståelse av matematisk-logiska principer, aritmetiska principer, tiosystemet och positionssystemet samt behärskning av matematiska symboler.

Matematisk-logiska principer

De centrala matematisk-logiska principerna i yngre barns utveckling är exempelvis att ordna i serier, jämföra, klassificera och förstå ett-till-ett-principen.

Ordna i serier

Att ordna i serier står i nära förhållande till talföljder och förståelsen av ordinal- (ordningstal-) och kardinal- (grundtals-) egenskaper. I början av utvecklingen kan man i grupperingsuppgifter be barnet ordna föremål i längd- eller storleksordning. Senare kan man fråga barnet vilket tal som saknas i talföljden 4, 5, 6, _, 8, 9 eller i serien 6, 8, 10, _, 14, 16.

Färdigheter i att jämföra

Jämförelse ingår i många slag av matematisk problemlösning och behövs exempelvis då barnet gör slutledningar om skillnader i storlek eller antal. Den är väsentlig också vid förståelse av talets konstans, såsom i uppgifter där längden på raden klossar förlängs när några klossar flyttas längre bort från varandra och barnet tillfrågas om antalet klossar ändras när man gör så här. För barnet gäller det att förstå att antalet är det samma även om föremålen är olika (fyra myror är lika många som fyra elefanter).

Klassificeringsförmåga

Klassificering är också mycket central vid matematisk problemlösning. Klassificering är exempelvis när barnet innan det börjar räkna föremålens antal bestämmer sig för vilka föremål som ska räknas: vilka som hör till den grupp som ska räknas och vilka som hör till den grupp som inte ska räknas, eller vilken grupp räknas först och vilken sedan.

Förhållandet ett till ett

Ett-till-ett-förhållandet behövs för att antalsräknande ska lyckas. Exempelvis lyckas ett barn med att räkna antal bara då det klarar av att namnge ett tal vid varje föremål som ska räknas och gör detta endast en gång. Att behärska förhållandet ett till ett behövs också när man delar ut föremål eller när man gör slutledningar om det finns lika många föremål i olika helheter.

förhållandet ett till ett

Bild 3. Förhållandet ett till ett

Aritmetiska principer vid addition och subtraktion

Det finns åtminstone fyra olika slags aritmetiska principer som är kopplade till inlärningen av aritmetiska basfärdigheter. Den första viktiga principen är att helheterna bildas av mindre delar. Det är viktigt att förstå att exempelvis talet sex kan bildas på följande sätt: 5 + 1, 4 + 2 och 3 + 2 + 1. Den andra viktiga principen är att det som ska adderas kan adderas i vilken ordningsföljd som helst och man får alltid samma resultat, alltså a + b = b + a (kommutativa lagen). Den tredje principen hör starkt ihop med den andra och säger att additionen kan spjälkas upp i delar och delarna kan räknas ihop på nytt sätt i en annan ordningsföljd och trots det får man samma resultat, alltså (a + b) + c = a + (b + c) (associativa lagen). Den fjärde principen är motsatsprincipen: addition och subtraktion är varandras motsatta räknesätt, det vill säga talet -1 och talet +1 tar ut varandra till exempel då man räknar 3+1-1=3.

Förståelse av tiosystemet och positionssystemet

När barnet kommer vidare i additions- och subtraktionsträningen börjar det använda större tal än nio. Då måste barnet inse att siffrans verkliga värde beror på vilken plats den är placerad i talet, dvs. vilken position siffran har. Om siffran står exempelvis på entalets, tiotalets eller hundratalets plats har betydelse för talets storlek.

Behärskning av matematiska symboler

I skolmatematiken är det en utmaning för barnet att lära sig använda matematiska symboler. Det matematiska språket i nybörjarundervisningen ger barnen träning i symbolanvändning när man jämför vilket tal som är större (>) eller mindre (<) och vilket som är lika stort (=) eller olika stort (≠) som det andra talet. Utöver att barnet lär sig beskriva antal med symboler (siffror), får barnet öva sig i att använda också andra symboler inom formell matematik.

Antalsförståelse

Med antalsförståelse avses förmåga att gestalta antal utan (språkbaserat) räknande. Detta anses vara en grundläggande matematisk förmåga som de språkliga (kulturella) matematikfärdigheterna bygger på. Det är alltså frågan om en förmåga som vi har grunden till redan vid födseln. Till sin karaktär är den relativ och inexakt samt oberoende av sinneskanalen (Dehaene, Spelke, Pine, Stanescu & Tsvikin, 1999; Lemer, Dehaene, Spelke & Cohen, 2003). Ju större skillnaden är mellan antalen desto lättare är det att urskilja antalen från varandra och avgöra vilket antal är större eller mindre. Ett spädbarn under nio månader kan lätt skilja en grupp med åtta föremål från en grupp med sexton föremål, även om föremålen upptar lika stort utrymme. Antalsförståelsen utvecklas relativt snabbt i småbarnsåldern, därefter är utvecklingen jämnare. Denna förmåga blir dock aldrig helt exakt.