Förståelse för matematiska samband
Matematisk-logiska principer
Centrala färdigheter i de yngre barnens utveckling av de matematisk-logiska principerna är till exempel att ordna i serier, jämförelse, klassificering och ett-till-ett-samband.
Att ordna i serier är nära sammanlänkat med förståelsen av talraden och dess indelning i ordinala tal (ordningstal) och kardinala tal (grundtal). I början av utvecklingen kan barnen ombes att ordna föremål i storleksordning, t.ex. utgående från höjd- eller storleksordning. I ett senare utvecklingsskede kan barnet frågas vilket tal som fattas ur serien 4, 5, 6, _, 8, 9 eller 6, 8, 10, _, 14, 16.
Förmågan att jämföra ingår i många typer av matematisk problemlösning och behövs t.ex. när barnet skall avgöra skillnader i storlek eller antal. Egenskapen är viktig också för barnets förståelse av talens konsistens, såsom i uppgifter där längden på en rad av klossar ändras genom att flytta klossar längre från varandra och man frågar barnet om antalet klossar förändras när man gör så.
Förmåga att klassificera är också mycket centralt vid matematisk problemlösning. Exempel på klassificering är t.ex. att barnet innan att börja räkna beslutar sig för vilka föremål som skall räknas, vilka hör till gruppen som skall räknas och vilka skall lämnas bort. Förmåga att klassificera krävs att barnet kan se skillnader och likheter mellan föremål och gruppera föremålen (och antalen) utgående från de egenskaperna.
Att göra jämförelser och dra slutsatser av antalsskillnader förutsätter att barnet behärskar också de rätta begreppen, t.ex. mer och mest, mindre och minst samt lika många. Även antals egenskaper, såsom jämna och ojämna tal kommer att vara viktiga.
Förhållandet ett-till-ett är den enskilda matematisk-logiska aspekten som forskningen fäst mest uppmärksamhet kring under de senaste tio åren (T.ex. Graham, 1999; Muldoon, Lewis & Freeman, 2003; Muldoon, Lewis & Towse, 2005; Pepper & Hunting, 1999; Mix, 1999). Såsom konstaterades i samband med antalsräkningen behövs ett-till-ett-förhållandet för framgångsrikt räknande. Att behärska ett-till-ett-förhållandet behövs också när man delar föremål eller drar slutsatser om olika helheter består av lika många enskilda delar.
Aritmetiska principer
I litteraturen omnämns fyra olika aritmetiska principer som är sammankopplade med inlärningen av grundläggande aritmetiska färdigheter. Dessa principer refereras ibland till med benämningen del-helhet-förhållandet. (Canobi, Reeve & Pattison, 2002; Wilkins, Baroody & Tiilikainen, 2001).
Den första viktiga principen är att helheter bildas av flera mindre delar. Det är viktigt att förstå t.ex. att talet sex kan bildas av flera delar, exempelvis: 5 + 1, 4 + 2 eller 3 + 2 + 1. Spjälkning och sammanföring av tal är en viktig träning för att tillägna denna princip. Principen används också senare med större tal, t.ex. när man använder tiopar i additionen 8 + 6 -> 8 + (2 + 4) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 ELLER 8 + 6 -> (4 + 4) + 6 = 4 + (4 + 6) = 4 + 10.
Den andra principen man måste lära sig är att alltid när man adderar och multiplicerar kan man räkna i vilken ordningsföljd som helst och resultatet förblir oförändrat, det vill säga a +/x b = b +/x a (kommutativa lagen). Den tredje principen hör starkt ihop med den andra och innebär att additionen kan spjälkas upp i delar och delarna kan räknas ihop på nytt sätt i en annan ordningsföljd och trots det får man samma resultat, alltså (a + b) + c = a + (b + c) (associativa lagen).
Den fjärde principen är motsatsprincipen: addition och subtraktion är varandras motsatta räknesätt, alltså tar de ut varandra. T.ex. 3 + 1 - 1 = 3. På samma sätt är multiplikation och division varandras motsatser genom att 3 x 2 : 2 = 3.
Att förstå och kunna tillämpa dessa principer hjälper barnet att utveckla flexibla och mångsidiga räkningsstrategier.
Positionssystemet och tiobassystemet (decimalsystemet)
När barnet avancerar i sina räkneövningar med addition och subtraktion börjar det använda tal som är större än nio. I detta skede måste barnet förstå att talets verkliga värde beror på vilken position det har i hela talet, t.ex. om det representerar ett ental, tiotal eller hundratal. Att ändra siffrans plats ändrar också hela talet (jämför talen 123, 132, 213, 231, 312 ja 321). Om barnet t.ex. vet att 5+4=9 (fem ettor plus fyra ettor är nio ettor) eller 500+400 (fem hundra plus fyra hundra) kan barnet utnyttja kunskapen om siffrornas positionssystem i olika räkningar. Att förstå positionssystemet och tiobassystemet hjälper barnet att utveckla och använda effektiva och mångsidiga räkningsstrategier.
Förståelsen för tiobassystemet och platsvärde har studerats via nonverbala processer (Donlan & Gourlay, 1999) i internationella jämförelsestudier med fokus på språkliga räkneordssystem, men också inlärningskulturen och undervisningsmetoderna. (Miura et al., 1987, 1989, 1993, 1994; Cheng-Zijuan & Chan, 2005; Saxton & Towse, 1998; Rasmussen, Ho, Nicholadis, Leung & Bisanz, 2006) samt genom undervisningsinterventioner (Varelas & Becker, 1997).
Medel och träningar för att förstå principer i positionssystemet och tiobassystemet
Matematiska symboler
I skolmatematiken är den stora utmaningen för barnet att lära sig använda de matematiska symbolerna. Språkbruket i den grundläggande matematikundervisningen ger eleverna möjlighet att öva sig i att använda matematiskt språk och matematiska symboler när man jämför vad som är större än (>), mindre än (<), lika med (=) eller olika stor (≠). Förutom att barnet lär sig att ange tal med hjälp av siffersymboler, får barnet också övning i att använda andra symboler för den formella matematiken.
