Noggrannare bedömning av färdigheterna

När man gör en bedömning av barnets färdigheter är det bra att försöka utreda inom vilka delområden i matematik barnets svagheter och styrkor framkommer, samt att observera hur barnet löser olika uppgifter och vilka strategier som används. Att bedöma ett barns färdigheter kräver tid och att man verkligen fördjupar sig i ämnet. Barn i förskola och nybörjarundervisning orkar inte koncentrera sig långa stunder åt gången, därför kan det vara nödvändigt att spjälka upp bedömningen i mindre delar. En utförlig bedömning är avgörande för att stödåtgärderna skall inriktas rätt.

Fyra centrala färdighetsområden i matematik som grund för bedömning

För att strukturera bedömningen av inlärningssvårigheter i matematik kan den modell som utarbetats för informationstjänsten och som innehåller fyra centrala färdighetsområden användas. I olika åldrar betonas en aning olika färdigheter, vilket framgår ur tabell 1. Det centrala är möjligheten att vid behov komma tillbaka till sådana färdigheter som betonats i ett tidigare skede. I informationstjänsten ligger fokus på att beskriva hur de centrala matematiska färdigheterna kan bedömas. På detta sätt avgränsas eller fokuseras en del områden som nämns i läroplanerna (Grunderna för förskoleundervisningens läroplan, 2000; Grunderna för förskoleundervisningens läroplan, 2004). T.ex. har inte multiplikationstabellerna inkluderats i bedömningen på våren i årskurs 2, trots att man redan börjar arbeta med dem under det andra skolåret. Detta beror helt enkelt på att inlärningen av multiplikationstabellerna betonas först i årskurs tre, och att man i nybörjarundervisning fokuserar på addition och subtraktion. Genom att i granskningen utgå från de centrala färdighetsområdena är det möjligt att koncentrera sig på de viktigaste färdigheterna för barn i förskolan och nybörjarundervisningen. De uppgifter som ges eller nämns i bedömningsdelen, är avsedda att hos lärare till exempel förtydliga tänkandet: De är inte avsedda att bilda testhelheter.

Sambandet mellan de olika delfärdigheterna

I ett tidigt skede i utvecklingen av matematikfärdigheterna är det möjligt att särskilja olika delfärdigheter, som t.ex. att lära sig ordningsföljden i talraden eller att kombinera små antal och kombinera dem med motsvarande siffra. Ju längre färdigheterna utvecklas, desto svårare blir det att särskilja de olika delfärdigheterna och reda ut hur de påverkar färdigheter som utvecklas senare. Man kan anta att större helheter av färdigheter som till exempel räkning, bygger på delfärdigheter som utvecklas i växelverkan med varandra och som stöder varandra.

De olika färdigheterna i matematik är alltså delvis separata: svårigheter eller goda prestationer inom en delfärdighet bestämmer därmed inte automatiskt utvecklingen av färdigheter inom en annan delfärdighet. Å andra sidan är det viktigt med tanke på bedömning och stödåtgärder att komma ihåg att matematik är en hierarkiskt uppbyggd helhet, där senare färdigheter bygger på tidigare färdigheter.

Ett exempel på hierarkin i kunskapsutvecklingen är sambandet mellan färdigheter i talraden och de aritmetiska basfärdigheter som inlärs senare. Långtidsstudier har visat att färdigheterna i talraden har stort prognostiskt värde för senare matematiskt kunnande. Ifall ett barn uppvisar svaghet med talraden och att räkna antal i förskolan, är det sannolikt att barnet har svårigheter även med att lära sig matematiken i nybörjarundervisningen. Att färdigheterna i talraden utvecklas ordentligt är en förutsättning för att kunna räkna antal och utveckla färdigheter i att addera och subtrahera. Då ett barn räknar till exempel konkreta mängder och vill komma fram till rätt svar, är färdigheter i att räkna upp talraden centralt. Det vanligaste sättet att börja öva och lösa additioner är att räkna framåt längs talraden. Att räkna upp talraden bakåt kan användas vid subtraktion. Aritmetiska kombinationer, som senare kan hämtas ur minnet, skapas när barnet räknar genom att flytande och noggrant räkna upp talen i talraden.

Färdighet att räkna upp tal och begreppslig förståelse av antal är exempel på att delfärdigheterna hos mindre barn kan vara separata. Till exempel hanterar barn som har språkliga inlärningssvårigheter ofta principen om kardinalitet bättre än att räkna upp antal. Jämfört med sina jämnåriga kan de kanske räkna upp tal i rätt ordning i betydligt mindre omfattning än andra, men kan istället relativt väl förstå att då man fastställer antal anger det sistnämnda talet hela antalet i mängden. Ett annat exempel på att delfärdigheterna kan utvecklas separat är automatiseringen av grundläggande räknefärdigheter hos lite äldre barn, dvs att lära sig faktakunskap samt kunskap om räknesättens ordningsföljd och regler. Barnet kan ha stora svårigheter med att lära sig att komma ihåg enkla additioner eller minnas multiplikationstabellerna utantill, men lär sig ändå samtidigt hur räkning uppställning fungerar eller tvärtom.

Bedömning av färdigheter i förskolan

De matematisk-logiska principerna utgör medelpunkten för de matematiska färdigheterna i förskolan. Exempel på basfärdigheter av detta slag är att ordna i serier, vilket kan observeras t.ex. genom att be barnet ordna lådor från den största till den minsta. I uppgifter om klassificering kan man be barnet plocka föremål som fyller vissa kriterier: ”Ge mig alla klossar som är röda och runda.” Ju fler kriterier och föremål det finns att välja mellan, desto svårare uppgift är det frågan om. Förståelse för motsvarigheter börjar ofta med att förstå en-till-en-principen. Detta kan mätas t.ex. med en kombinationsuppgift, där barnet ombeds söka rätt på matfat av rätt storlek åt katterna: ”Den stora katten äter från det stora fatet och den lilla katten från det lilla fatet. Kombinera nu varje katt med fat som har rätt storlek”. Förmågan att jämföra kan mätas genom att be barnet göra en uppskattning om var det finns flera och var det finns färre. Man kan tänka sig att de matematisk-logiska basfärdigheterna ger en grund för och stöder senare inlärning av matematik på åtminstone två sätt: å ena sidan är de sådana grundläggande tankefärdigheter som behövs i matematisk problemlösning, och å andra sidan vänjer sig barnet vid att använda de grundläggande ord- och begreppsförråd som undervisningen i skolan till stor del baseras på.

Utgående från räkneförmågan utvecklas och breddas förmågan att räkna upp talraden, att räkna antal och hantera siffersymboler. Den enklaste varianten av förmågan att räkna upp tal finns i uppgifter där barnet ombeds att räkna framåt från ett. Dessa uppgifter har ofta formen ”Räkna framåt från ett”, ”Kan du räkna…” eller ”Räkna upp tal från ett”. 67% av barn i förskoleålder kan räkna upp tal ända upp till 20 (Standardiseringsmaterialet till Test i taluppfattning, 2004). Att räkna upp talraden bakåt är en aning svårare än framåt, oftast på grund av mindre övning. Av barn i förskoleålder kan ca 40% räkna upp talen baklänges från sjutton till ett, då det ges en modell för övningen och konkreta föremål som stöd för minnet (Standardiseringsmaterialet till Test i taluppfattning, 2004). Dessa färdigheter behövs när barnet börjar öva addition och subtraktion, där det är till nytta för att lösa uppgifterna om man kan röra sig framåt och bakåt längs talraden.

Att kunna räkna upp talraden stegvis visar på att barnet redan behärskar talraden bättre. Ungefär hälften av barnen i förskoleåldern klarar av att räkna upp talen från ett till femton stegvis (Standardiseringsmaterialet till Test i taluppfattning, 2004) Att barnet kan börja uppräkningen av tal i mitten av talraden, visar på att barnet har utvecklat en relativt bra förståelse för talraden och kan operera smidigt med den. Exempelvis kan ungefär 60% av barn i förskoleålder börja antalsuppräkningen från 9 och fortsätta därifrån fram till 15 (Standardiseringsmaterialet till Test i taluppfattning, 2004). Denna förmåga är nyttig senare vid additions- och subtraktionsuppgifter: lösningssättet är snabbare och ger mindre rum för misstag. Att räkna upp talraden stegvis kan även vara till en hjälp då man börjar öva multiplikationstabellerna. Ifall barnet hanterar detta sätt att räkna, med t.ex. med fem steg, blir det mycket lättare för barnet att ta till sig femmans tabell.

Att lära sig siffersymbolerna är ett av målen i nybörjarundervisningen. Barnet lär sig att kombinera räkneordet med den siffersymbol som han eller hon ser, samt att kombinera siffersymboler till antal. Genom att räkna upp talraden om och om igen, lär sig barnet även att avgöra hur många föremål det finns i en helhet.

Förskolebarn börjar även öva aritmetiska basfärdigheter, trots att den egentliga inlärningen av dessa färdigheter koncentreras främst till årskurs ett. I förskolan ges dessa uppgifter oftast muntligt och för att lösa dem kan barnen ta hjälp av konkreta föremål. Oftast klarar barnen av att lösa dem med hjälp av att räkna upp talraden.

Antalsuppfattningen är en bakgrundsfaktor i utvecklingen även hos barn i förskoleålder. Ovanpå den nonverbala antalsuppfattningen utvecklas med hjälp av övning och erfarenhet, en förståelse för att talen i talraden är ordnade enligt den mängd de står för. Ett barn i förskoleålder börjar utveckla förståelse för att ju längre upp i talraden ett tal är, desto större antal står det för. För tillfället vet vi ganska lite om detta delområde i utvecklingen.

När man gör en bedömning av färdigheter hos en förskoleelev som är svag är det viktigt att göra en mångsidig utredning. I praktiken betyder detta att man i bedömningen av olika färdighetsområden åtminstone funderar ut flera olika uppgifter. För det kan lätt hända att barnet till exempel kan räkna upp tal framåt, men inte klarar av att använda denna förmåga till att räkna antal. Å andra sidan, ifall barnet inte förstår vad flera och färre betyder, räcker det inte att barnet kan räkna separata antal för att lösa en uppgift med antalsjämförelse. När man gör en färdighetsbedömning av en förskoleelev, är det bra att försöka ta reda på vad det är som brister i barnets inlärning. I sin enklaste form kan det betyda att man förminskar talområdet. Hur man ändrar svårighetsgraden på uppgifter berättar vi mer om i slutet av denna text i delen Att göra uppgifter enklare eller svårare enligt behov.

Exempeluppgifter för bedömning av förskolebarn (pdf, 132 kB)

Bedömning av färdigheter i årskurs 1

Ett centralt tyngdpunktsområde för de matematiska färdigheterna i årskurs ett och två är i de grundläggande räknefärdigheterna, dvs. addition och subtraktion inom talområdet 0-20. På våren i årskurs 1 kan man börja bedömningen av de matematiska färdigheterna med att ställa frågan: kan barnet lösa räkneuppgifter som anges endast med siffror? I gruppsituationer kan man observera ifall barnet kan lösa uppgifter inom olika talområden, och ifall inte, vilka områden är det som ställer till med problem: 1-5, 1-10 eller 10-20. Då man gör en bedömning med hela gruppen, har man även möjlighet att få en uppfattning om hur flytande barnet räknar i jämförelse med de övriga eleverna i klassen.

Med barn som är mycket långsamma och som i genomsnitt gör flere fel i sitt räknande än andra, kan det vara skäl att noggrannare reda ut vad långsamheten och felen i räknandet beror på. Detta lyckas bäst då barnet undersöks individuellt. Då observerar man hur barnet löser uppgiften. Uppmärksamhet borde fästas på att se ifall barnet söker svaret direkt från minnet, eller om barnet använder strategier baserade på uppräkning. Räknar barnet upp bägge talen från ett i bägge termerna (3+6=>1,2,3; 1,2,3,4,5,6 och 1,2,3,4,5,6,7,8,9) eller klarar barnet av att börja direkt från det andra talet om barnet använder strategier som baseras på uppräkning vid addition? Ifall barnet klarar av att börja direkt från det andra talet, väljer barnet då det tal som står först (3+6 => (3) 4,5,6,7,8,9) eller det tal som är större (3+6 => (6) 7,8,9)? Ifall barnet använder strategier som baseras på uppräkning vid subtraktion, räknar han eller hon bakåt från det tal som det skall subtraheras ifrån (9-6=> (9), 8,7 6,5,4,3) eller framåt från det tal man subtraherar med (9-6=> (6) 7,8,9) eller kan barnet välja mellan dessa strategier så att det sätt som väljs är det som kräver minst uppräkning.

I samband med bedömningen av strategin bör man fråga sig varför barnet använder svaga strategier, som till exempel räknar upp alla tal, eller varför det uppstår fel i räkneprocessen. Hurdana hinder har barnet eller hurdana stödåtgärder skulle barnet behöva för att kunna gå över till att använda mer effektiva strategier? För utvecklingen av strategier är det centralt att även utvärdera de olika delfärdigheterna i räknandet, som till exempel hur flytande uppräkningen av tal är. För att barnet skulle kunna använda strategin där man utgår från det sista talet, bör barnet kunna börja uppräkningen av tal i mitten av talraden (t.ex. att kunna räkna antingen framåt eller bakåt från talet 4). Barnet bör även hantera motsvarigheterna för tal och antal, för att direkt kunna ta utgångstalet. I uppgifter som kräver förståelse och behärskning av talens storleksordning, är antalsuppfattningen viktig. Ifall barnet har svårigheter med att gestalta talens storleksordning, blir det svårt för barnet att bedöma svarets riktighet i räkneuppgifter.

Att förstå och behärska de symboler och aritmetiska principer som beskriver dem är centrala för färdigheterna i matematiska relationer. I bedömningen är det alltså skäl att utreda om barnet förstår grundläggande räkneoperationer samt de symboler som beskriver dem, dvs hur barnet uppfattar addition och subtraktion. Förstår barnet och kan barnet lösa enkla additions- och subtraktionsuppgifter som ges muntligt, och kan barnet presentera problemet med hjälp av siffror och räknesymboler?

Utvecklingen av räknestrategierna påverkas även av hur barnet behärskar de aritmetiska grundprinciper, som t.ex. kommutativitet i addition, och det att addition och subtraktion kan ses som motsatta räknesätt. Ifall barnet använder en räknestrategi där den första termen tas som som utgångstal, är det skäl att ta reda på ifall barnet förstår att för att få svaret spelar det inte någon roll i vilken ordning man räknar talen. Om barnet inte förstår att termerna kan räknas i valfri ordning i en addition som presenteras med siffror, kan det vara bra att se ifall barnet förstår detta i en situation som förutsätter räkning av antal med konkreta föremål. I en konkret situation kan man även observera ifall barnet kan använda förkortad addition – att bestämma ett antal genom att barnet börjar räkna från ett visst tal - eller behöver barnet räkna alla föremål.

Exempeluppgifter för bedömning av elever i årskurs 1 (pdf, 134 kB)

Bedömning av färdigheter i årskurs 2

I årskurs 2 ligger tyngdpunkten på addition och subtraktion inom talområdet 20-100 och utöver huvudräkning övar man räkning med uppställning. Av färdigheterna i matematiska relationer är platsvärde och förståelse för tiosystemet centrala. När man gör en bedömning av räknefärdigheter på våren i årskurs 2 kan man börja med frågorna: behärskar barnet räkning med flersiffriga tal som uppställning och som huvudräkning, samt har barnet flyt i räknandet med ensiffriga tal (se föregående stycke). Med barn som är långsamma och i medeltal gör fler fel än andra borde man försöka reda ut vad långsamheten och felen i räknandet beror på.

Då man räknar med flersiffriga tal, bör man komma ihåg att förutom addition och subtraktion med talen 1-9 borde barnet ha kunskap om olika räkneskeden, regler och ordningsföljd. Därmed kan svårigheter i uppställning hos en del barn bero på svaga grundläggande räknefärdigheter, medan det hos andra kan bero på svårigheter i att lära sig räkneregler och ordningsföljd. Barn kan även ha svårigheter inom bägge områden.

Gällande färdigheter i matematiska relationer bör man vid uppställning även observera ifall barnet själv kan placera talen under varandra, dvs förstår barnet talens uppbyggnad och platsvärde överhuvudtaget och förstår barnet dessa i anslutning till uppställningen. Ett barn som inte förstår sig på talets uppbyggnad kan lära sig utantill lösryckta regler, utan att egentligen förstå varför talen placeras under varandra på ett visst sätt, eller vad det egentligen innebär att låna och använda minnessiffror. Ifall barnet har svårigheter med att behärska talens platsvärde, blir det ofta problem med huvudräkning med flersiffriga tal. Detta kan bland annat bero på att barnet har svårigheter med att spjälka upp uppgiften i olika faser, genom att utnyttja kunskap om talets enheter. En del barn försöker lösa uppgifterna genom uppräkning av tal. Det är en mycket långsam strategi som medför stora risker för fel, särskilt då man räknar med större tal. Andra kan klara sig med att använda strategin ”ental och tiotal”, så länge som summan eller skillnaden av talen inte medför tiotalsövergång. T.ex. kan ett barn i uppgiften 16+15 skriva svaret 211, eller vid uppgiften 34-16 byta räkneriktning vid entalen och få svaret 22. Det kan dock hända att samma barn löser uppgiften helt rätt, om talen i fråga färdigt placerats under varandra.

Exempeluppgifter för bedömning av elever i årskurs 2 (pdf, 132 kB)

Att ändra uppgifternas svårighetsgrad enligt behov

Lärare kan själva påverka kvaliteten på uppgifter genom att anpassa uppgifternas talområde och andra krav, för att noggrannare kunna fånga in varje barns kunnande. Genom att ändra på t.ex. följande områden i uppgifter kan man påverka svårighetsgraden:

1. Att ändra talområdet – i exempel som nu givits är tyngdpunkten i talområdet på 1-10 hos förskolebarn, 0-20 hi årskurs ett och 0-100 i årskurs 2
2. Att barnet använder någon slags minnesstöd (t.ex. klossar) eller ej, är också en faktor som påverkar svårighetsgraden. I uppgifterna täcker man ibland en del av stödmaterialet, medan man någon gång håller allting synligt. Att lösa uppgifter enbart utgående från minnet kan vara mycket svårt för svaga barn. I dessa exempeluppgifter har vi tänkt att minnesstöden är viktiga i förskoleundervisningen och för barn i årskurs 1, men att merparten av eleverna i årskurs 2 klarar sig i de flesta uppgifter utan dem.

Avslutningsvis

Ifall barnet inte behärskar uppgifterna för sin egen ålder, kan man använda uppgifter som är tänkta för yngre för att observera barnets kunnande. Det relevanta är ju att få reda på vilka barnets svagheter och styrkor är, och använda det som grund för att stöda inlärningen.