Aritmeettiset perustaidot

• Aritmeettisten taitojen yleinen kehitys
• Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen
• Luetteluun pohjautuvat strategiat yhteenlaskussa
• Luetteluun pohjautuvat strategiat vähennyslaskussa
• Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen
• Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa
• Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa
• Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa
• Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa

Aritmeettisten taitojen yleinen kehitys

 

Aritmeettisten taitojen, yhteen- ja vähennyslaskutaidon, kehittymistä voidaan kuvata eri laskustrategioiden käytön kautta (esim. Baroody, 1984; Fennema, Carpenter, Jacobs, Franke & Levi, 1998; Fuson, 1984; Geary, Bow-Thomas, Liu & Siegler, 1996), sillä laskustrategioiden käytössä voidaan nähdä tietty kehityksellinen järjestys. Laskutaidon kehittymistä voidaankin kuvata erilaisten strategioiden suhteellisen osuuden avulla, esimerkiksi missä määrin lapsi hakee vastauksia muististaan ja missä määrin ratkaisee ne laskemalla.

 

Yhteen- ja vähennyslaskutaidot kehittyvät asteittain. Laskutaito kehittyy luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti aritmeettisten yhdistelmien muistamista. Lapsi käyttää ja kokeilee laskustrategioita spontaanisti ja oppii niitä myös kouluopetuksessa (Steinberg, 1985; Thornton, 1978; Thornton 1990). Tavallisesti lapset käyttävät useita strategioita. Sujuvaa laskijaa kuvaa se, että hän pääasiassa palauttaa nopeasti vastauksen muistista, mutta kykenee myös tarvittaessa valitsemaan muista strategioista sopivimman. Niillä lapsilla, joilla on matematiikan oppimisen vaikeuksia, on käytössään vain muutama strategia. Usein ne ovat hitaita luetteluun pohjautuvia strategioita, jotka lapsi on oppinut ensimmäisenä. Aritmeettisten yhdistelmien muistamiseen perustuvat ratkaisumallit ovatkin näille lapsille usein vaikeita.

 

Vähennyslaskustrategiat ovat lapselle vaikeampia kuin yhteenlaskustrategiat – sekä spontaanisti että kouluopetuksessa opittaviksi (Steinberg, 1985). Vähennyslaskuissa pitää muistissa pitää useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa. Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteen- ja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen.

 

Jos lapsella on vaikeuksia laskemisessa ja hän tuntuu käyttävän vain muutamaa hidasta laskustrategiaa, hänelle voidaan opettaa nopeampia ja tehokkaampia strategioita. Lapsen käyttämät strategiat saadaan selville pyytämällä lasta selittämään, miten hän on ratkaissut jonkin laskutehtävän.

 

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen

 

Aluksi lapsi ratkoo laskutehtäviä lukujen luetteluun pohjautuvien strategioiden kautta. Lapsi laskee aluksi konkretian ja visuaalisen tuen avulla (kuten esineet, sormet ja piirtäminen) ja siirtyy sitten käyttämään pelkästään mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla (Ostad, 1999; Siegler & Shrager, 1984; Siegler, 1987). Strategian käytössä voidaan erotella myös se, miten lapsi laskee luettelemalla eli kuinka paljon lukuja lapsi luettelee ja mistä luvusta hän lähtee laskemisessaan liikkeelle.

 

Alkuvaiheessa lapsi laskee laskun kaikki tekijät yksitellen esineillä tai sormilla ja samoin myös vastauksen (esim. 2 +4  --> 1, 2 ---- 1, 2, 3, 4 --- 1, 2, 3, 4, 5, 6). Myöhemmin lapsi aloittaa laskemisen keskeltä lukujonoa (2 + 4 --> 2--- 3, 4, 5, 6). Tässä vaiheessa lapsen lukujonotaidot ovat kehittyneet niin, että luettelun aloittaminen keskeltä lukujonoa on mahdollista. Tehokkaammasta tavasta laskea kertoo se, että lapsi luettelee mahdollisimman vähän lukuja, esimerkiksi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta (esim. 2 + 4 --> 4 --- 5, 6). Lapsen kanssa on hyvä käydä läpi yhteenlaskun vaihdannaisuuslakia (yhteenlaskettavien järjestys ei muuta laskun vastausta, 2 + 4 = 4 + 2). Tällöin lapsi voi oppia hyödyntämään sitä laskemisessaan. Vähennyslaskussa saman hyödyntäminen edellyttää yhteenlaskun yhteyden ymmärtämistä. Esimerkiksi laskussa 9 - 7 on nopeampaa ja tehokkaampaa laskea seitsemästä eteenpäin yhdeksään (8, 9 --> vastaus on 2) kuin laskea taaksepäin yhdeksästä seitsemän pois (8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). Kun lapsi ei käytä enää laskemisen tukena esineitä, joutuu hän pitämään muistissaan sekä tietoa siitä, kuinka monta hän on jo lisännyt tai vähentänyt, sekä siitä,  mikä missäkin laskuvaiheessa on vastaus (esim. 5 + 3 -->1 lisää on 6, 2 lisää on 7, 3 lisää on 8).

 

Laskujen ratkaiseminen mielessä luetteluun pohjautuvien strategioiden avulla on siis monivaiheinen suoritus.  Laskujen ratkaiseminen edellyttää lapselta monia yhtäaikaisia toimintoja ja muistissa pidettäviä asioita. Siksi on tärkeää, että lapsi osaa luetella sujuvasti eteen- ja taaksepäin lukujonoa ja aloittaa luettelemisen annetusta luvusta (Baroody, 1984).

 

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen on työlästä, hidasta ja virhealtista. Lapsi käyttää kuitenkin esimerkiksi sormiaan laskemisen tukena niin kauan kunnes hän on kehittynyt taidoissaan niin, että pystyy laskemaan vain mielessään ja myöhemmin hakemaan nopeasti aritmeettisia yhdistelmiä muististaan. 

Luetteluun pohjautuvat strategiat yhteenlaskussa

 

Konkretia tai visuaalinen tuki laskemisen apuna

(mukaeltu Ostad, 1999)

 

Laske kaikki, aloita alusta	Esim. 3 + 2 = ? Lapsi laskee kolme esinettä yksitellen "1,2,3". Hän lisää yksitellen laskien kaksi esinettä "1,2", laskee sitten alusta kaikki esineet "1,2,3,4,5" ja saa tulokseksi viisi.
Laske toinen luvuista, aloita alusta	Esim. 3 + 4 = ? Lapsi näyttää sormillaan suoraan luvun 3 ja lisää siihen luetellen neljä lisää "1, 2, 3, 4". Sitten hän laskee alusta kaikki sormet tai katsoo vastauksen suoraan sormien lukumäärästä.
LAskeminen eteenpäin	Esim. 4 + 3 = ? Lapsi näyttää sormillaan luvun 4 ja laskee eteenpäin sormien avulla "5, 6, 7". Vastauksena on viimeiseksi sanottu lukusana.
LAskeminen eteenpäin, aloittaen suuremmasta luvusta	Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän näyttää sormillaan luvun viisi ja laskee sormien avulla eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.

 

Mielessä tapahtuva laskeminen (Carpenter & Moser, 1984)

Laskeminen eteenpäin ensimmäisestä luvusta	Esim. 3 + 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 3 ja laskee mielessään eteenpäin "4, 5, 6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.
laskeminen eteenpäin suuremmasta luvusta	Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän sanoo luvun viisi ja laskee mielessään eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana.

Luetteluun pohjautuvat strategiat vähennyslaskussa

 

Konkretia tai visuaalinen tuki laskemisen apuna

(mukaeltu Ostad, 1999)

Laske kaikki, aloita alusta	Esim. 5 – 3 = ? Lapsi laskee viisi esinettä yksitellen. Sitten hän laskee pois kolme esinettä, laskee jäljelle jääneet ja saa tulokseksi kaksi.
Laskeminen eteenpäin	Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin sormien tuella ”5, 6, 7”. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme.
Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran	Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee sormien avulla taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.
Laskeminen eteen- tai taaksepäin	Lapsi valitsee laskun ratkaisemisen tavaksi edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2 tai 3, riippuen siitä, kummalla tavalla tarvitsee laskea vähemmän. Esim. laskussa 9 – 7 = ?, lapsi valitsisi kohdan 2.

 

Mielessä tapahtuva laskeminen

(mukaeltu Fuson, 1984 ja Ostad, 1999)

Laskeminen eteenpäin	Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin mielessään ”5, 6, 7”. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme.
Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran	Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.
LAskeminen taaksepäin annettuun lukuun asti	Esim. 8 - 6 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin lukuun 6 asti "7, 6". Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli 2.
LAskeminen eteen- tai taaksepäin	Lapsi valitsee laskun ratkaisemiseen edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2, 3 tai 4, riippuen siitä millä tavalla tarvitsee laskea vähiten. Esim. laskussa 9 - 7 = ?, lapsi valitsisi kohdan 2 tai 4.

 

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen

 

Kun lapsi käyttää laskustrategioita onnistuneesti yhteen- ja vähennyslaskuissa, laskun tekijöiden ja vastauksen välille muodostunut yhteys vahvistuu vähitellen (Barrouillet & Fayol, 1998; Siegler & Shrager, 1984). Tällöin lapsi voi palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (esim. 2 + 3 = 5). Toisaalta lapsi voi käyttää osaamiaan aritmeettisia yhdistelmiä hyväkseen ratkaistessaan laskutehtäviä. Lapsi voi johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta (esim. 6 - 3 = 3, joten 6 - 4 = 2, koska luku neljä on yhden suurempi kuin luku kolme). Lapsi voi myös pilkkoa laskun osavaiheisiin ja koota laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan lukujärjestelmästä, kuten 7 + 5 --> 7 + (3 + 2)-->10 + 2 = 12. Eräiden tutkijoiden mukaan (mm. Putnam et al., 1990; Thornton, 1990; Carpenter & Moser, 1984) toisen laskun kautta laskun johtaminen voi edesauttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista ja suoraan mielestä palauttamista. Esimerkiksi lapselle opetetaan ensin muihin laskuihin nähden melko helposti opittavat tuplat (yhteenlaskettavana on kaksi kertaa sama luku, esim. 4+4) ja niitä hyödyntämällä opetetaan muita lähellä olevia aritmeettisia yhdistelmiä (kuten 4 + 4 = 8, joten 4 + 5 = 9). Toisen laskun kautta johtamista sekä lukujen osavaiheisiin pilkkomista voidaan havainnollistaa aluksi lapselle konkreettisilla tai visuaalisilla materiaaleilla.

 

Yleensä lapset oppivat käyttämään muistista palautettavia yhdistelmiä pääasiallisena laskustrategianaan noin yhdeksään ikävuoteen mennessä (Ashcraft & Fierman, 1982; Brauwer, Verguts, & Fias, 2006; Lemair & Siegler, 1995). Laskustrategioiden kehittyneimmällä tasolla lapsi palauttaa laskun vastauksen muististaan nopeasti (noin 2 - 3 sekuntia). Näitä suoraan muistista palautettavia yhdistelmiä lapsi voi käyttää apuna laskemisessaan sellaisissa laskuissa, joihin hän ei vielä muista vastausta. Kun suuria lukuja lasketaan allekkain, pienten laskujen ulkoamuistaminen on entistä tärkeämpää. Jos laskeminen ei käy sujuvasti lukualueella 0- 20, on allekkainlaskujenkin tekeminen hidasta. Ylipäätään lukualueella 0-20 sujuva, automatisoitunut laskeminen on edellytys suurten lukujen laskemiseen.

 

Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa

 

(mukaeltu Steinberg, 1985)

Tupla +1, +2	Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi tai kaksi. esim. 6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13
tupla -1, -2	Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi tai kaksi. esim. 7 + 6 = (7 + 7) - 1 = 13
10-parit	Käytetään hyväksi opittuja 10-pareja. esim. 8 + 2 = 10, joten 8 + 3 = 11
10-lasku	Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. esim. 10 + 8 = 18, joten 9 + 8 = 17
Jaettu	Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Myöhemmin tästä syntynyttä mielikuvaa voidaan käyttää hyväksi laskemisessa. esim. 7 + 5 = 6 + 6
Toisen tunnetun yhdistelmän kautta	esim. 7+5=(7+4)+1=12

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa

Lisäämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskussa:

(mukaeltu Steinberg, 1985)

Tupla +1	Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi. esim. 13 - 6 --> 6 + __ = 13 --> 6 + (6 + 1) = 13
tupla -1	Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi. esim. 11 - 6 --> 6 + __ = 11 --> 6 + (6 - 1) = 11
Jaettu	Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Tätä mielikuvaa käytetään hyväksi myös vähennyslaskussa. esim. 12-7 --> 6+6=12, joten 7+5=12

 Vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskussa:

10-lasku	Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. esim. 16 - 10 = 6, joten 16 - 9 = 7
Toisen tunnetun yhdistelmän kautta	esim. 12 - 7 --> 12 - 8 = 4, joten 12 - 7 = 5

 

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa

Lisääminen 10 kautta

Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. esim. 8 + 5 --> (8 + 2) + 3 = 10 + 3 = 13

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa

(Steinberg, 1985)

Lisääminen 10 kautta	Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. 13 - 6 --> 6 + 4 = 10, 10 + 3 = 13 --> 4 + 3 = 7
Vähentäminen 10 kautta	Luku vähennetään ensin kymmeneen ja otetaan vielä jäljelle jäänyt kymmenestä pois. 12 - 7 --> 12 - 2 = 10, 10 - 5 = 5
Vähentäminen kymmenestä	Otetaan kymmenen yli menevä luku "talteen", sen jälkeen otetaan vähentäjä pois kymmenestä ja lisätään talteen laitettu luku muistista. 12 - 4 = (10 - 4) + 2 = 8