Taitojen tarkempi arviointi

Lapsen taitoja arvioitaessa on hyvä pyrkiä selvittämään, millä matematiikan osa-alueilla lapsen heikkoudet ja vahvuudet näkyvät sekä tarkastella sitä, miten lapsi eri tehtäviä ratkaisee ja millaisia strategioita hän käyttää. Lapsen taitojen arviointi vaatii aikaa ja paneutumista asiaan. Esi- ja alkuopetusikäiset lapset, eivät jaksa keskittyä kovin pitkään, joten taitojen arvioinnin pilkkominen pienempiin osiin voi olla tarpeen. Huolellinen arviointi auttaa kuitenkin tukitoimien kohdentamisessa oikeisiin asioihin ja on siksi ehdottoman tärkeää.

• Neljä keskeistä matemaattista taitorypästä arvioinnin jäsentäjänä
• Osataitojen yhteys toisiinsa
• Taitojen arviointi esikoulussa
• Taitojen arviointi ensimmäisellä luokalla
• Taitojen arviointi toisella luokalla
• Tehtävien vaikeuttaminen ja helpottaminen tarpeen mukaan
• Lopuksi

Neljä keskeistä matemaattista taitorypästä arvioinnin jäsentäjänä

Matemaattisten oppimisvaikeusarvioinnin jäsentäjäksi voidaan ottaa tietopalvelua varten kehitetty neljän taitoryppään malli.  Kuten taulukosta 1 voi havaita eri ikäisillä lapsilla arviointi painottuu hieman eri taitoihin. Olennaista on kuitenkin tarvittaessa palata arvioimaan varhaisemmassa vaiheessa painottuvia taitoja. Tietopalvelussa keskitytään kuvaamaan, miten keskeisiä matemaattisia taitoja voidaan arvioida. Näin rajautuu ulkopuolelle tai painottuu myöhemmille luokilla joitain opetussuunnitelmissa (Esiopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2000; Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet, 2004) mainittavia sisältöjä. Esimerkiksi toisen luokan kevään arviointiin ei ole sisällytetty kertotaulua, vaikka sitä osittain opetellaankin jo toisen luokan aikana. Tämä siksi, että kertotaulun oppimisen voidaan ajatella painottuvan kolmannelle luokalle ja alkuopetusvuosien keskeinen painopiste onkin yhteen- ja vähennyslaskussa. Keskeiset matemaattiset taitoryppäät –mallin kautta asian tarkastelu auttaa keskittymään kaikkein tärkeimpiin taitoihin esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla. Arviointiosassa annettavat tai mainitut tehtävät on tarkoitettu opettajille esimerkeiksi ajattelua selkeyttämään: Niiden ei ajatella muodostavan testikokonaisuuksia.

Taulukko 1. Arvioitavat taidot eri ikäryhmissä

Osataitojen yhteys toisiinsa

Matematiikan taitojen varhaisessa kehittymisvaiheessa on mahdollista erottaa toisistaan erillisiä osataitoja, kuten lukusanojen järjestyksen oppiminen tai pienien lukumäärien ja niitä vastaavien lukujen yhdistäminen. Taitojen kehittyessä on yhä vaikeampi eritellä eri osataitoja ja selvittää, kuinka ne vaikuttavat myöhemmin kehittyviin taitoihin. Voidaankin ajatella, että laajemmat taitokokonaisuudet kuten laskeminen rakentuvat keskenään vuorovaikutuksessa kehittyvistä ja toinen toistaan tukevista osataidoista.

Matematiikan osataidot ovat siis osin erillisiä: vaikeudet tai hyvä suoritus yhdessä osataidossa eivät automaattisesti määrää taitojen kehittymistä toisessa osataidossa. Toisaalta kuitenkin matematiikan taitojen arvioinnin ja tukitoimien kannalta on hyvä pitää mielessä, että matematiikka on myös hierarkkisesti rakentuva taitojen kokonaisuus, jossa myöhemmät taidot rakentuvat varhaisempien varaan.

Esimerkkinä taitojen kehityksen hierarkkisuudesta on lukujonotaitojen ja myöhemmin opittavien aritmeettisten perustaitojen välinen yhteys. Lukujonotaitojen kehitys on todettu pitkittäistutkimuksissa tärkeäksi myöhemmän matematiikan osaamisen ennusmerkiksi. Mikäli lapsella on heikkoutta lukujonotaidoissa ja lukumäärän laskemisessa esikoulussa, hänellä on todennäköisesti vaikeuksia myös alkuopetuksen matematiikan oppimisessa. Lukujonotaitojen hyvä kehittyminen on edellytys sille, että lukumäärän laskeminen onnistuu ja että yhteen- ja vähennyslaskutaidot voivat kehittyä. Kun lapsi laskee esimerkiksi konkreettisia lukumääriä ja haluaa päästä siinä oikeaan ratkaisuun, on oleellista, että lukujonon luetteleminen onnistuu. Lukujonon eteenpäin luetteleminen on myös yleisin tapa aloittaa yhteenlaskujen harjoitteleminen ja ratkaiseminen. Lukujonon taaksepäin luettelua voidaan käyttää vähennyslaskujen ratkaisemisessa. Sujuvan ja tarkan luettelemalla laskemisen myötä muistiin tallentuu aritmeettisia yhdistelmiä, joita lapsi voi hakea muististaan.

Osataitojen erillisyydestä ovat pienemmillä lapsilla esimerkkeinä lukujenluettelutaito ja lukumäärän määrittämiseen liittyvä käsitteellinen ymmärrys. Esimerkiksi sellaiset lapset, joilla on kielen oppimisen vaikeus, hallitsevat usein kardinaalisuus-käsitteen suhteellisesti paremmin kuin lukujen luettelemisen. Ikätovereihin verrattuna he saattavat luetella lukuja oikeassa järjestyksessä huomattavasti vähemmän kuin muut mutta ymmärtävät sen sijaan suhteellisen hyvin, että lukumäärän määrittämisessä viimeinen lueteltu luku kuvaa koko joukon lukumäärää. Toisena esimerkkinä osataitojen erillisyydestä vähän vanhemmilla lapsilla on peruslaskutoimitusten automatisoituminen eli faktatiedon oppiminen sekä laskujärjestystä ja -sääntöjä koskevan tiedon oppiminen. Lapsella voi olla suuria vaikeuksia oppia muistamaan pieniä yhteenlaskuja tai kertotaulua ulkoa mutta samalla hän kuitenkin oppii, miten allekkainlaskeminen etenee tai päinvastoin. 

Taitojen arviointi esikoulussa

Esikouluiässä kehityksellisessä keskiössä matemaattisista suhdetaidoista ovat matemaattis-loogiset periaatteet. Tällaisia perustaitoja ovat esimerkiksi sarjoittaminen, jota voidaan arvioida esimerkiksi pyytämällä lasta järjestämään laatikot suurimmasta pienimpään. Luokittelun tehtävissä voidaan lasta pyytää vaikkapa poimimaan erimuotoisten esineiden joukosta kaikki tietyt kriteerit täyttävät esineet: ”Anna minulle kaikki punaiset pyöreät palikat.” Mitä enemmän kriteereitä ja luokiteltavia esineitä on, sitä vaikeammasta tehtävästä on kyse. Vastaavuuksien ymmärtäminen alkaa usein yksi yhteen -suhteen ymmärtämisestä. Tällaista voidaan mitata esimerkiksi yhdistämistehtävässä, jossa lasta pyydetään etsimään kissoille oikeankokoiset ruokakupit: ”Iso kissa syö isosta kupista ja pieni kissa syö pienestä kupista. Yhdistä nyt jokainen kissa oikeankokoiseen ruokakuppiin.” Vertailun taitoa voidaan mitata pyytämällä lasta tekemään arvio siitä, missä on enemmän tai vähemmän. Matemaattis-loogisten perustaitojen voidaan ajatella ainakin kahdella tavalla luovan perustaa ja tukevan myöhempää matematiikan oppimista: toisaalta ne ovat oleellisia ajattelun taitoja, joita tarvitaan matemaattisessa ongelmanratkaisussa, ja toisaalta niitä harjoiteltaessa totutaan myös käyttämään sitä perussanastoa ja -käsitteistöä, johon kouluopetus pitkälti nojaa.

Laskemisen taidoista kehittyvät ja monipuolistuvat lukujonon luettelemisen taidot, lukumäärän laskemisen taidot ja numerosymbolien hallinta. Yksinkertaisimmillaan lukujononluettelun taidot ovat tehtävissä, joissa lasta pyydetään luettelemaan lukuja ykkösestä eteenpäin. Usein nämä tehtävät ovat muodoltaan ”Laske ykkösestä eteenpäin”, ”Osaatko sinä laskea…” tai ”Luettele numeroita ykkösestä eteenpäin”. Esikoululaisista 67 prosenttia osaa luetella luvut 20:een asti (Lukukäsitetestin standardointiaineisto, 2004). Lukujonon luettelu taaksepäin on hieman hankalampaa kuin eteenpäin, yleensä vähäisemmän harjoittelun vuoksi. Esikoululaisista noin 40 prosenttia pystyy luettelemaan luvut taaksepäin seitsemästätoista yhteen, kun saa tehtävässä mallin ja konkreettiset esineet muistin tueksi (Lukukäsitetestin standardointiaineisto, 2004). Nämä taidot ovat tarpeellisia silloin, kun lapsi alkaa harjoitella yhteen- ja vähennyslaskuja, joiden ratkaisemisessa lukujonossa liikkuminen eteenpäin ja taaksepäin on hyödyllistä.

Lukujonon luettelu hyppäyksittäin kertoo jo sujuvammasta lukujonon hallinnasta.  Esikouluikäisinä lukujenluettelu hyppäyksittäin sujuu ykkösestä viiteentoista noin puolelta lapsijoukosta (Lukukäsitetestin standardointiaineisto, 2004). Se, että lapsi kykenee aloittamaan lukujenluettelun keskeltä lukujonoa, kertoo siitä, että lapselle on kehittynyt suhteellisen hyvä käsitys lukujonosta ja hän pystyy operoimaan sillä joustavasti. Esimerkiksi noin 60 prosenttia esikouluikäisistä lapsista osaa aloittaa lukujen luettelemisen luvusta 9 ja jatkaa siitä eteenpäin 15:een (Lukukäsitetestin standardointiaineisto 2004). Tästä taidosta on hyötyä myöhemmin esimerkiksi kun hän laskee yhteen- ja vähennyslaskutehtäviä: ratkaisutapa on nopeampi ja vähemmän altis virheille. Toinen, missä hyppäyksittäinen lukujonon luetteleminen voi olla myöhemmin avuksi, on kertolaskun harjoitteleminen. Jos lapsella on taito luetella lukujonoa hyppäyksittäin, esimerkiksi viiden välein, se auttaa viiden kertolaskun ymmärtämisessä.

Numerosymboleiden oppiminen on yksi osa esiopetusvuoden tavoitteita. Lapsi oppii yhdistämään lukusanan näkemäänsä numerosymboliin sekä yhdistämään numerosymbolin lukumääriin. Yleensä lukujonoa luettelemalla lapsi oppii myös määrittämään, kuinka monta esinettä kokonaisuudessa on.

Esikoululaiset alkavat myös harjoitella aritmeettisia perustaitoja, mutta niiden oppiminen keskittyy lähinnä ensimmäiselle luokalle. Esikoulussa nämä tehtävät usein annetaan suullisesti ja niiden ratkaisussa lapset voivat käyttää apunaan konkreettisia esineitä. Useimmiten lapset ratkaisevat ne käyttämällä apunaan lukujonon luettelemisen taitojaan.

Lukumääräisyyden tajuaminen on lapsen kehityksessä taustavaikuttajana myös esikouluikäisillä lapsilla. Ei-kielellisen lukumääräisyyden tajun päälle kehittyy harjoittelun ja kokemuksen myötä todennäköisesti ymmärrys siitä, että luvut lukujonossa on järjestetty sen mukaan, kuinka suureen lukumäärään ne viittaavat. Esikouluikäiselle lapselle alkaa kehittyä käsitys siitä, että mitä pidemmällä luku on lukujonossa, sitä suurempaan lukumäärään se viittaa. Tällä hetkellä tiedämme aika vähän tästä kehityksen osa-alueesta.

Kun arvioidaan esikouluikäisen heikon oppijan taitoja, on tärkeää lähestyä asiaa monipuolisesti. Käytännössä tämä tarkoittaa ainakin sitä, että eri taitorypäiden arvioimiseen kannattaa miettiä useita tehtäviä. Sillä voi hyvin olla esimerkiksi niin, että lapsi osaa luetella lukuja eteenpäin, mutta ei kykene käyttämään tätä taitoa lukumäärien laskemiseen. Toisaalta, jos lapsi ei ymmärrä, mitä tarkoittaa enemmän ja vähemmän, ei lukumäärien vertailutehtävässä riitä, että hän osaa laskea erilliset lukumäärät. Esikoululaisen taitoja arvioitaessa on hyvä yrittää selvittää, missä lapsen oppiminen ontuu. Yksinkertaisimmillaan se voi tarkoittaa sitä, että lukualuetta pienennetään. Tehtävien vaikeusasteen muuttamisesta kerromme lisää tämän tekstin lopussa kohdassa Tehtävien vaikeuttaminen ja helpottaminen tarpeen mukaan.

Taitojen arviointi ensimmäisellä luokalla

Ensimmäisellä ja toisella luokalla matematiikan taitojen yksi keskeinen painopiste on peruslaskutaidossa eli yhteen- ja vähennyslaskussa lukualueella 0–20. Ensimmäisen luokan keväällä matematiikan taitojen arvioinnissa voidaankin lähteä liikkeelle kysymyksestä, osaako lapsi ratkaista numeroin esitettyjä laskutehtäviä. Ryhmätilanteessa on mahdollista tarkastella, pystyykö lapsi ratkaisemaan laskuja oikein eri lukualueilla ja jos ei, niin millä lukualueella ongelmia tulee: 1–5, 1–10 vai 10–20. Ryhmän kanssa tehtävässä arvioinnissa on mahdollista myös saada käsitystä siitä, miten sujuvasti lapsi laskee verrattuna muihin luokan oppilaisiin.

Hyvin hitaiden ja keskimääräistä enemmän virheitä tekevien lasten kohdalla tulisi tarkemmin selvittää, mistä hitaus ja virheellisyys laskemisessa johtuvat. Tämä onnistuu parhaiten, kun lapsi on tutkittavana yksin. Tällöin tarkastelun kohteena on se, miten lapsi ratkaisee tehtävän. Huomiota tulisi kiinnittää siihen, hakeeko lapsi vastauksen suoraan muistista vai käyttääkö hän luettelupohjaisia strategioita. Jos lapsi käyttää yhteenlaskemisessa luetteluun pohjautuvia strategioita, niin luetteleeko hän molemmat laskun tekijät ykkösestä alkaen (3+6=>1,2,3; 1,2,3,4,5,6 ja 1,2,3,4,5,6,7,8,9) vai pystyykö hän aloittamaan toisesta luvusta suoraan? Jos lapsi pystyy aloittamaan suoraan toisesta luvusta, niin valitseeko lapsi ensimmäisenä esitetyn tekijän (3+6 => (3) 4,5,6,7,8,9) vai tekijöistä suuremman (3+6 => (6) 7,8,9)? Jos lapsi käyttää vähennyslaskussa luetteluun pohjautuvia strategioita, niin luetteleeko hän takaperin vähennettävästä (9-6=> (9), 8,7 6,5,4,3) vai etuperin vähentäjästä (9-6=> (6) 7,8,9) vai pystyykö hän valitsemaan näiden strategioiden välillä sen mukaan, kummalla tavalla luettelun määrä jää lyhyemmäksi?

Strategian arvioinnin yhteydessä mietittävä kysymys on, miksi lapsi käyttää heikkoja strategioita, kuten luettelee kaikki luvut, tai miksi laskemisessa tulee virheitä. Millaisia esteitä lapsella on tai mitä tukea lapsi tarvitsisi, jotta hän voisi siirtyä käyttämään tehokkaampia laskustrategioita? Laskustrategioiden kehittymisen kannalta keskeistä on arvioida myös laskemisen osataitoja, kuten luettelutaidon sujuvuutta. Jotta lapsi pystyisi käyttämään strategiaa, jossa hän ottaa aloitusluvun suoraan, on hänen pystyttävä aloittamaan lukujen luettelu keskeltä lukujonoa (luetella esimerkiksi luvusta 4 eteenpäin tai taaksepäin). Myös luvun ja määrän vastaavuuden on oltava hallinnassa, jotta aloitusluvun suoraan ottaminen onnistuu. Lukumääräisyyden taju puolestaan korostuu tehtävissä, joissa edellytetään lukujen suuruusluokan ymmärtämistä ja hallintaa. Jos lapsella on vaikeuksia lukujen suuruusluokan hahmottamisessa, se vaikeuttaa laskemisessa esimerkiksi vastauksen oikeellisuuden arviointia.

Matemaattisista suhdetaidoista laskutaidon kannalta keskeisiä ovat laskutoimitusten ja niitä kuvaavien symbolien sekä aritmeettisten periaatteiden ymmärtäminen ja hallinta. Arvioinnissa onkin olennaista selvittää, ymmärtääkö lapsi peruslaskutoimituksia sekä niitä kuvaavia symboleja eli mitä yhteen- ja vähennyslasku lapsen mielessä tarkoittaa. Ymmärtääkö lapsi ja osaako hän ratkaista yhteen- ja vähennyslaskuja yksinkertaisissa suullisesti esitetyissä tehtävissä ja osaako hän esittää ongelman numeroin ja laskusymbolein?

Laskustrategioiden kehittymiseen vaikuttaa myös aritmeettisten perusperiaatteiden hallinta, kuten vaihdannaisuus yhteenlaskussa tai se, että yhteen- ja vähennyslasku voidaan ajatella käänteisiksi toimituksiksi. Jos lapsi käyttää laskustrategiaa, jossa hän ottaa aloitusluvuksi laskun ensimmäisen tekijän, on olennaista selvittää ymmärtääkö hän, että lukujen laskemisjärjestyksellä ei ole vastauksen kannalta merkitystä. Jos lapsi ei ymmärrä numeroin esitetyssä yhteenlaskussa, että tekijät voidaan laskea missä tahansa järjestyksessä, on hyvä tarkastella, ymmärtääkö lapsi tämän konkreettisessa esineiden lukumäärän määrittämistä edellyttävässä tilanteessa. Lisäksi voidaan tarkastella konkreettisessa tilanteessa, onnistuuko lapselta lyhennetty laskeminen – lukumäärän määrittäminen siten että lapsi aloittaa luettelemalla laskemisen tietystä määrästä – vai pitääkö lapsen laskea kaikki esineet. 

Esimerkkitehtäviä ensiluokkalaisten arviointiin (pdf, 20kt)

Taitojen arviointi toisella luokalla

Toisella luokalla yhteen- ja vähennyslaskujen painopiste on lukualueella 20–100 ja  päässälaskujen lisäksi opetellaan allekkainlaskua. Matemaattisista suhdetaidoista keskeisellä sijalla on luvun paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän ymmärtäminen. Toisen luokan keväällä laskutaitojen arvioinnissa voidaan lähteä liikkeelle kysymyksistä, hallitseeko lapsi useampinumeroisilla luvuilla laskemisen allekkain ja päässälaskuna sekä osaako lapsi laskea sujuvasti yksinumeroisilla luvuilla (ks. edellinen kappale). Hitaiden ja keskimääräistä enemmän virheitä tekevien lasten kohdalla tulisi tarkemmin selvittää, mistä hitaus ja virheellisyys laskemisessa johtuvat.

Useampinumeroisilla luvuilla laskettaessa on hyvä pitää mielessä, että lukujen 1–9 yhteen- ja vähennyslaskun lisäksi laskuissa pitää jo hallita laskuvaiheita, sääntöjä ja järjestystä koskevia tietoja. Näin ollen lapsen allekkainlaskussa havaittavat vaikeudet voivat osalla johtua heikosta peruslaskutaidosta ja toisilla taasen vaikeuksista oppia laskusääntöjä ja järjestystä koskevaa tietoa tai sitten ongelmia on molemmissa.

Matemaattisiin suhdetaitoihin liittyen allekkainlaskussa tulee huomiota kiinnittää myös siihen, osaako lapsi itse laittaa luvut allekkain eli ymmärtääkö hän lukujen rakennetta ja paikka-arvoa ylipäätänsä ja ymmärtääkö hän niitä allekkainlaskun yhteydessä. Lapsi, joka ei ymmärrä luvun rakennetta, saattaa opetella ulkoa irrallisia sääntöjä ymmärtämättä, miksi luvut asetellaan tietyllä tavalla allekkain ja mistä lainaamisessa ja muistiin viemisessä itse asiassa on kyse. Jos lapsella on vaikeuksia luvun paikka-arvon hallinnassa, hänellä on monesti vaikeuksia erityisesti päässälaskumuodossa esitettyjen useampinumeroisten lukujen laskemisessa. Se voi johtua esimerkiksi siitä, että hän ei pysty pilkkomaan laskua vaiheisiin hyödyntämällä tietoa luvun yksiköistä. Osa lapsista pyrkii ratkomaan laskuja luettelemalla, mikä on hyvin työläs ja virheille altis strategia laskettaessa suuremmilla luvuilla. Toiset lapsista taas saattavat selviytyä ”ensimmäiset ja toiset luvut” -strategiaa käyttäen niin kauan kun ykkösten summa tai erotus ei edellytä kymmenen ylitystä. Esimerkiksi laskun 16+15 vastaukseksi lapsi saattaa kirjoittaa 211 tai laskussa 34-16 lapsi saattaa vaihtaa laskusuuntaa ykkösten kohdalla saaden tuloksen 22. Silti samainen lapsi saattaa laskea tehtävät aivan oikein, kun kyseiset luvut on asetettu allekkain.

Esimerkkitehtäviä toisluokkalaisten arviointiin (pdf, 20kt)

Tehtävien vaikeuttaminen ja helpottaminen tarpeen mukaan

Opettajat voivat itse vaikuttaa tehtävien laatuun muotoilemalla tehtävien lukualuetta ja muita vaatimuksia ja näin ollen haarukoimaan kunkin lapsen osaamista tarkemmin. Tehtävien vaikeuteen voidaan vaikuttaa muuttamalla esimerkiksi seuraavia tehtävän piirteitä:

1)      Lukualueen muuttaminen – nyt annettavissa esimerkeissä esikoululaisten taitojen painopiste on lukualueella 1–10, ensiluokkalaisilla lukualueella 0–20 ja toisluokkalaisilla lukualueella 0–100

2)      Tehtävän vaikeuteen vaikuttaa myös se, käyttääkö lapsi tehtäviä tehdessään muistitukia (esimerkiksi palikoita) vai ei. Joskus tehtävissä peitetään osa tukimateriaalista ja osa pidetään näkyvissä. Pelkkä muistinvarainen tehtävien ratkaisu voi olla heikoille lapsille hyvin hankalaa. Näissä tehtäväesimerkeissä olemme ajatelleet, että esiopetuksen ja ensimmäisen luokan lapsille muistituet ovat tärkeitä, mutta jo toisella luokalla valtaosa lapsista pärjää useimmissa tehtävissä ilman muistitukia.

Lopuksi

Mikäli lapsi ei osaa omanikäistensä lasten tehtäviä, voidaan hänen osaamistaan tarkastella nuoremmille ajatelluilla tehtävillä. Oleellistahan on saada selville, millaisia lapsen vahvuudet ja heikkoudet ovat, ja käyttää sitä oppimisen tuen pohjana.