Taitojen kehityksestä

Jo pienellä lapsella on kyky ymmärtää lukumäärien eroja, ja lukujonon luettelemistakin lapsi alkaa harjoitella jo aika varhain. Lapsen kasvaessa matemaattiset taidot kehittyvät. Esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla on jo runsaasti erilaisia matemaattisia taitoja. Ne voidaan ryhmitellä neljäksi kokonaisuudeksi, joita kutsumme matemaattisiksi taitoryppäiksi. Näistä tutuimpia ovat varmasti taidot, jotka liittyvät lukumäärän laskemiseen tai myöhemmin yhteen- ja vähennyslaskujen tekemiseen (eli aritmeettisiin perustaitoihin). Tämän lisäksi esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla on taitoja, jotka auttavat matemaattisten suhteiden ymmärtämisessä ja toisaalta lukumäärien suuruuksien hahmottamisessa ilman, että lukumäärää varsinaisesti lasketaan. Nämä neljä taitoryvästä esitellään tarkemmin seuraavassa.

Taulukko 1. Neljä keskeistä taitoryvästä

Laskemisen taidot

Lukujonon luettelemisen taidot, lukumäärän laskemisen taito (jossa laskemisessa käytetään hyväksi lukujonon luettelemisen taitoa) sekä numerosymbolien hallinta muodostavat laskemisen taitoryppään. Yleensä lapsen kehitys etenee lukujonon luettelusta lukumäärän laskemiseen ja siitä edelleen yhteen- ja vähennyslaskutaitoihin. Tähän kehitykseen vaikuttaa merkittävästi se, kuinka paljon lapsi pääsee harjoittelemaan kyseisiä taitoja.

Lukujonon luettelemisen taidot

Lukujonon luettelemisen taidoilla tarkoitetaan lukujen luettelemista eteenpäin (esim. yksi, kaksi, kolme, neljä) ja taaksepäin (esim. viisi, neljä, kolme, kaksi, yksi, nolla).  Lukujonoa voidaan luetella myös hyppäyksittäin, jolloin ääneen sanotaan joka toinen, joka viides tai joka kymmenes luku, esimerkiksi: kaksi, neljä, kuusi, kahdeksan tai viisi, kymmenen, viisitoista, kaksikymmentä. Lukujonon luettelemisen jatkaminen jostain muusta luvusta kuin luvusta yksi on myös tärkeä lukujonotaito, sillä se nopeuttaa laskemista. Tällainen tilanne voi tulla eteen, kun lautapelissä käytetään kahta noppaa. Lapsi heittää noppaa ja saa luvut 3 ja 4. Silloin lapsi tunnistaa toisesta nopasta silmäluvun kolme laskematta ja jatkaa siitä pisteiden laskemista ”neljä, viisi, kuusi, seitsemän”.

Sujuvat lukujonon luettelemisen taidot ovat kehityksellisesti hyvin tärkeitä ensinnäkin siksi, että lapsi tarvitsee lukujonon luettelemista, kun hän laskee, kuinka monta esinettä jossakin kokonaisuudessa on. Lukusanojen luettelemisen taito on myös tärkeä, kun lapsi harjoittelee yhteen- ja vähennyslaskuja, sillä alussa ratkaisu pohjaa lukujonon luettelemiseen eteen- tai taaksepäin. Lukujonossa eteneminen hyppäyksittäin nopeuttaa lukumäärien laskemista ja perusaritmetiikan, lähinnä yhteen- ja vähennyslaskutehtävien ratkaisemista.

Lukumäärän laskemisen taidot

Lukumäärän laskeminen edellyttää monien eri osaprosessien onnistumista (esim. Butterworth, 2005; Gelman & Gallistel, 1978). Ensinnäkin lapsen täytyy osata luetella lukujono oikeassa järjestyksessä ja toiseksi hänen on kyettävä luomaan yksi yhteen -suhde sanotun sanan ja laskettavan esineen sekä myös osoittavan eleen välille: kun lapsi sanoo yhden luvun, hänen kätensä saa osoittaa vain yhtä esinettä. Kolmanneksi lapsen pitää oivaltaa, että viimeiseksi sanottu luku kertoo esineiden kokonaismäärän. Neljänneksi lapsen pitää tietää, että kaikenlaisia keskenään erilaisiakin esineitä ja asioita voi laskea, ja viidenneksi, että esineet voi laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan laskee jokaisen esineen vain kerran.

Taulukko 2. Lukumäärän laskemisen osat

Numerosymbolien hallinta

Lapsen ensimmäisiä askelia koulumatematiikan harjoittelussa on oppia yhdistämään lukusana (neljä) sitä vastaavaan numerosymboliin (4). Tätä lasten kanssa harjoitellaan esimerkiksi sanomalla heille jokin lukusana, jolloin lapsen tehtävänä on kirjoittaa sitä vastaava numerosymboli. Toisaalta lapselle voi myös näyttää esimerkiksi korteilla jonkin numerosymbolin ja lapsen tehtävä on sanoa sitä vastaava lukusana.

Toinen tärkeä taito on kyetä ilmaisemaan numerosymboleilla lukumääriä. Tätä taitoa lapsi harjoittelee, kun häntä pyydetään näyttämään se numero(symboli), joka on yhtä suuri kuin näytettyjen esineiden lukumäärä, tai kun lapselle näytetään numero ja hänen pitää antaa yhtä monta esinettä.

Kuva 1. Numeron, lukusanan ja lukumäärän yhteys.

Kehityspolku lukujonotaidoista laskemisen taitoihin

Karkeasti ajateltuna lukujonotaidot kehittyvät niin, että niitä voidaan käyttää apuna lukumäärien laskemisessa ja sen jälkeen yhteen- ja vähennyslaskuja ratkaistaessa (Fuson, 1988; Van de Rijt, 1996). Yleensä ennen koulua lapsen lukujonon luettelemisen taidoista kehittyy strategia, jolla voi laskea lukumääriä. Tässä kehityksessä on mahdollista erottaa kuusi eri vaihetta. Ne ovat primaarinen ymmärrys lukumääristä, lorumainen laskeminen, eriaikainen laskeminen, järjestämällä laskeminen, tuloksen laskeminen ja lyhentynyt laskeminen. Näitä on kuvattu hieman tarkemmin taulukossa 3.

Taulukko 3. Lasten lukujonotaitojen kehittyminen laskemisen taidoiksi

Aritmeettiset perustaidot

Aritmeettisilla perustaidoilla tarkoitetaan yhteen- ja vähennyslaskutaitoja, mutta myös kerto- ja jakolaskutaitoja. Esikouluikäinen lapsi aloittelee jo yhteen- ja vähennyslaskuja. Nämä ratkaisutaidot kehittyvät paljon esi- ja alkuopetusvuosien aikana. Lapsi aloittaa harjoittelun pienillä luvuilla ja muistinsa tukena esineet  – myöhemmin laskut sujuvat isoillakin lukualueilla ja ilman muistitukia. Kun taidot kehittyvät ja kokemus lisääntyy, lapsen ei enää tarvitse laskea yksinkertaisia ja usein toistuvia yhdistelmiä, vaan hän voi sanoa vastauksen suoraan muistista (aritmeettisten yhdistelmien muistaminen).

Aritmeettisten taitojen yleinen kehitys

Aritmeettisten taitojen kehitystä kuvataan usein strategioiden avulla. Kehityksen ensi vaiheessa lapsi esittää yhteen- tai vähennyslaskutilanteen vain esineillä. Jos lapsen pitää laskea esimerkiksi yhteenlaskua 3 + 1, hän lisää kolmen esineen kasaan vielä yhden esineen.

Seuraava kehitysvaihe on huomattavasti helpommin kuultavissa ja nähtävissä lapsen toiminnasta. Tässä vaiheessa lapset käyttävät laskemiseen perustuvia strategioita. Aluksi he luettelevat lukujonoja ja esimerkiksi siirtävät taikka koskettavat konkreettisia esineitä yhteenlaskun edetessä. Myöhemmin he laskevat yhteen- ja vähennyslaskuja ilman esineitä, mutta ainakin aluksi turvautuvat vielä lukujonon luettelemiseen tehtäviä ratkaistessaan.

Kuva2. Lukusanojen luettelu ja muistitukientarve eri kehitysvaiheissa yhteenlaskutehtävissä.

Kun kokemusta yhteen- ja vähennyslaskuista karttuu, voi lapsi kertoa laskun vastauksen suoraan muististaan. Tällöin puhutaan aritmeettisten yhdistelmien tai faktojen muistamisesta: usein toistuvat ja yksinkertaiset yhdistelmät tallentuvat toiston ansiosta pitkäkestoiseen muistiin. Lapsen ei enää tarvitse laskea, kuinka paljon on 1+1, vaan hän heti tehtävän nähdessään palauttaa muististaan vastauksen 2. Hyvin kehittynyt strategioiden vaihe on myös se, kun lapsi alkaa käyttää itse keksimiään taikka opetettuja matemaattisia yhtälöitä. 

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen

Kun lapsi käyttää laskemisstrategioita onnistuneesti yhteen- ja vähennyslaskuissa, hänelle kehittyy samalla enemmän muistitietoa usein toistuvista laskuista. Niiden vastaukset ovat valmiina hänen muistissaan, eikä laskemista enää tarvita. Yleensä lapset oppivat käyttämään muistissaan olevia yhdistelmiä pääasiallisena ongelmanratkaisustrategianaan noin yhdeksään ikävuoteen mennessä.

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen

Sen lisäksi, että lapsi oppii laskemaan lukumääriä sekä ratkaisemaan yhteen- ja vähennyslaskuja, hän oppii myös ymmärtämään erilaisia suhteita, jotka sisältyvät esimerkiksi matematiikan tehtäviin ja kysymyksiin. Esi- ja alkuopetusikäisten lasten keskeisiä matemaattisia suhdetaitoja ovat matemaattis-loogisten periaatteiden, aritmeettisten periaatteiden, kymmenjärjestelmän ja paikka-arvon ymmärtäminen sekä matemaattisten symbolien hallinta.

Matemaattis-loogiset periaatteet

Nuorimpien lasten kehityksessä keskeisiä matemaattis-loogisia periaatteita ovat esimerkiksi sarjoittaminen, vertailu, luokittelu ja yksi yhteen -suhde.

Sarjoittaminen liittyy tiukasti lukujonon ja sen ordinaali- (järjestysluku-) ja kardinaali- (perusluku-) piirteiden ymmärtämiseen. Kehityksen alussa sarjoittamisen tehtävissä lapsia voidaan pyytää järjestämään esineet korkeus- taikka suuruusjärjestykseen. Myöhemmin lapselta voidaan kysyä, mikä luku puuttuu sarjasta 4, 5, 6, _, 8, 9 taikka sarjasta 6, 8, 10, _, 14, 16.

Taito vertailla sisältyy monenlaiseen matemaattiseen ongelmanratkaisuun ja on tarpeen esimerkiksi silloin, kun lapsi tekee päätelmiä eroista koossa tai lukumäärissä. Se on oleellinen myös luvun säilymisen ymmärtämisessä, kuten esimerkiksi tehtävissä, joissa palikkajonon pituutta muutetaan siirtämällä palikoita kauemmas toisistaan ja lapselta kysytään, muuttuuko palikoiden lukumäärä kun näin tehdään.

Taito luokitella on myös hyvin keskeinen matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Luokittelua on esimerkiksi se, kun lapsi ennen ryhtymistä esineiden lukumäärän laskemiseen päättää, mitä esineitä pitää laskea: mitkä kuuluvat luokkaan laskettavat ja mitkä luokkaan ei-laskettavat.

Yksi yhteen -suhdetta tarvitaan, jotta lukumäärän laskeminen onnistuisi. Esimerkiksi lapsi onnistuu lukumäärän laskemisen tehtävässä vain silloin, kun hän kykenee nimeämään luvun jokaisen laskettavan esineen kohdalla ja tekee sen vain kerran.  Yksi yhteen -suhteen hallintaa tarvitaan myös silloin, kun jaetaan esineitä tai kun tehdään päätelmiä siitä, onko eri kokonaisuuksissa yhtä monta esinettä.

Kuva 3. Yksi yhteen -suhde

Aritmeettiset periaatteet yhteen- ja vähennyslaskuissa

On olemassa ainakin neljä erityyppistä aritmeettista periaatetta, joiden oppiminen on liitetty aritmeettisten perustaitojen oppimiseen. Ensimmäinen tärkeä periaate on se, että kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista. On tärkeä ymmärtää, että esimerkiksi luku kuusi voidaan muodostaa seuraavin tavoin: 5 + 1, 4 + 2 ja 3 + 2 + 1. Toinen opittava periaate on se, että yhteenlaskettavat voidaan laskea yhteen missä tahansa järjestyksessä ja aina saadaan sama tulos eli a + b = b + a. Tätä lähellä on kolmas periaate, jonka mukaan yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja silti saadaan sama tulos eli (a + b) + c = a + (b + c). Neljäntenä periaatteena on käänteisyyden periaate: yhteen- ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa. Esimerkiksi 3 + 1 - 1 = 3.

Kymmenjärjestelmän ja paikka-arvon ymmärtäminen

Kun lapsi etenee yhteen- ja vähennyslaskujen harjoittelussaan, hän alkaa käyttää suurempia lukuja kuin yhdeksän. Tällöin lapsen täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa, esimerkiksi onko se ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla.

Matemaattisten symbolien hallinta

Koulumatematiikassa lapsen haasteena on oppia käyttämään matemaattisia symboleita. Alkuopetuksen matemaattinen kielenkäyttö harjaannuttaa lapsia käyttämään symboleita, kun vertaillaan, kumpi luku on suurempi (>) tai pienempi (<) ja mikä on yhtä suuri (=) tai eri suuri (=/) kuin toinen luku. Sen lisäksi, että lapsi oppii kuvaamaan lukumääriä symboleilla (numeroilla), hän harjaantuu siis käyttämään muitakin formaalin matematiikan symboleita.

Lukumääräisyyden taju

Lukumääräisyydentajulla tarkoitetaan kykyä hahmottaa lukumääriä ilman (kieleen perustuvaa) laskemista. Sitä pidetään perustavanlaatuisena matemaattisena kykynä, jonka varaan kielellinen (kulttuurinen) matemaattinen taito rakentuu. Kyseessä on siis kyky, jonka pohja meillä on jo syntymähetkellä. Se on laadultaan suhteellinen ja epätarkka sekä aistikanavasta riippumaton (Dehaene, Spelke, Pine, Stanescu & Tsvikin, 1999; Lemer, Dehaene, Spelke & Cohen, 2003). Mitä suurempi ero lukumäärien välillä on, sitä helpompaa ne on erottaa toisistaan. Alle yhdeksänkuiset vauvat pystyvät hyvin erottamaan toisistaan kahdeksan ja kuudentoista esineen joukon, vaikka ne olisivat pinta-alaltaan samankokoisella alueella. Lukumääräisyyden taju kehittyy kohtalaisen nopeasti varhaislapsuuden aikana, jonka jälkeen kehitys tasaantuu. Tämä kyky ei kuitenkaan koskaan kehity täysin tarkaksi.